循环嵌套（下）知识点总结

一、核心教学目标

1. 掌握 质数判定 的基础逻辑与优化方法（利用平方根减少循环次数）
2. 理解 sqrt() 数学函数的功能、使用场景及头文件依赖
3. 熟练运用循环嵌套解决 完全数罗列、质数口袋 等综合问题
4. 深化循环嵌套中「变量重置」「提前退出」等编码技巧

二、重点知识点详解

（一）完全数罗列

1. 完全数定义

一个正整数的所有 真因子（不包括自身的正因子）之和，恰好等于它本身。

例：6 的真因子为 1、2、3，且 1+2+3=6，因此 6 是完全数。

2. 核心逻辑（循环嵌套）

• 外层循环：遍历 1~n 的所有候选数字（i 为当前待检查数字）
• 内层循环：寻找当前数字 i 的所有真因子，并累加因子和
• 关键注意：每次检查新数字前，需将因子和变量 sum 重置为 0，避免累计上一个数字的结果

（二）质数判定

1. 质数定义

一个 大于 1 的正整数，除了 1 和它本身外，没有其他正因子（不能被其他数整除）。

⚠️ 注意：1 不是质数。

2. 基础判定逻辑（循环嵌套）

• 外层：针对输入数字 n 进行判断
• 内层：用 2~n-1 的所有数字依次试除 n，若存在能整除的数，则 n 不是质数

3. 优化技巧（利用平方根）

• 核心原理：因子总是成对出现（如 12 的因子对：(1,12)、(2,6)、(3,4)），成对因子的“中点”是 sqrt(n)，因此只需试除到 sqrt(n) 即可。
• 优化效果：将循环次数从 n-2 减少到 sqrt(n)，大幅提升效率。

4. sqrt() 函数说明

• 功能：计算非负数的平方根（返回值为double类型，需配合整数类型使用）
• 头文件：必须包含 <cmath>
• 示例：sqrt(16)=4、sqrt(25)=5、sqrt(10)≈3.16

三、常见易错点整理